Էդգար Babayan ha iniziato la sua carriera professionistica nel calcio nel 2015, quando è entrato a far parte del settore giovanile del Randers U19. Dopo aver dimostrato il suo talento e la sua abilità sul campo, è stato promosso in prima squadra il 1 luglio 2015.
Tuttavia, dopo due stagioni con il Randers, Babayan ha deciso di cercare nuove opportunità e il 27 gennaio 2017 è stato ceduto in prestito al Hobro. Ha trascorso sei mesi con il club prima di fare ritorno al Randers il 30 giugno 2017.
Il suo ritorno a Randers è stato seguito da un trasferimento definitivo al Hobro il 1 luglio 2017. Babayan ha giocato per due stagioni con il club, dimostrando ancora una volta il suo valore come calciatore.
Il 15 febbraio 2021, Babayan ha deciso di intraprendere una nuova avventura e ha firmato con il Riga FC, in Lettonia. Ha trascorso sei mesi con il club prima di trasferirsi in Cipro per giocare nel Pafos il 1 luglio 2021.
Dopo una stagione con il Pafos, Babayan ha attratto l'attenzione degli scout danesi e il 26 gennaio 2022 è stato acquistato dal Vejle BK. Ha trascorso solo sei mesi con il club, prima di passare al Randers il 1 luglio 2022.
Con il suo trasferimento al Randers, Babayan è tornato alla squadra dove aveva iniziato la sua carriera professionistica. Speriamo che Babayan possa continuare a crescere e prosperare nel suo nuovo club e contribuire al successo della squadra.