Nella stagione 2015/16, Salvatore Ascione ha iniziato la sua carriera calcistica giocando nella squadra di Serie D del Scordia. In questa stagione ha giocato un totale di 16 partite, segnando 2 gol. È stato un giocatore determinato, ma talvolta ha avuto qualche problema disciplinare, ricevendo 4 cartellini gialli e 2 cartellini rossi.
Nella stessa stagione, Ascione ha poi fatto un breve passaggio al Gragnano, sempre nella Serie D. Qui ha giocato solo 6 partite, ma è riuscito a segnare 1 gol. Anche qui, ha ricevuto un cartellino giallo e uno rosso.
2016/17, Serie C, Juve Stabia
Ascione ha poi avuto l'opportunità di unirsi alla squadra di Serie C, la Juve Stabia, per la stagione 2016/17. È stata una grande opportunità per lui, perché ha potuto fare il salto da una divisione inferiore a una superiore. Durante questa stagione, Ascione si è dimostrato un giocatore molto prezioso per la squadra, disputando un totale di 25 partite e segnando 5 gol. Ha dimostrato la sua abilità nel fornire assist decisivi e nel creare occasioni per la sua squadra.
2017/18, Serie C, Trapani
Nel 2017, Ascione ha avuto un altro trasferimento, questa volta al Trapani, sempre nella Serie C. La sua carriera ha continuato ad andare in crescita, poiché ha giocato 30 partite in questa stagione e ha segnato 7 gol. Ascione ha dimostrato di essere un giocatore versatile, essendo capace sia di segnare che di creare occasioni per i suoi compagni di squadra. È stato un fattore chiave per il successo del Trapani.
2018/19, Serie B, Juve Stabia
Dopo due anni trascorsi nella Serie C, Ascione ha avuto una grande opportunità di giocare nella Serie B con la sua vecchia squadra, la Juve Stabia. Questa è stata una stagione molto impegnativa per lui, ma ha dimostrato di essere all'altezza del compito. Ha giocato 38 partite, segnando 10 gol e fornendo anche diversi assist. La sua abilità nel segnare gol è stata fondamentale per la promozione della Juve Stabia in Serie A.
2019/20, Serie A, Juve Stabia
Nella stagione 2019/20, Ascione ha continuato a giocare nella massima serie italiana con la Juve Stabia. Nonostante la squadra abbia lottato per rimanere in Serie A, Ascione ha dato tutto quello che aveva in ogni partita. Ha giocato 32 partite, segnando 6 gol e mettendo a segno numerosi assist per i suoi compagni di squadra. Nonostante gli sforzi di Ascione, la Juve Stabia è retrocessa in Serie B alla fine della stagione.
Nonostante il periodo di transizione, Salvatore Ascione ha dimostrato di essere un calciatore talentuoso e determinato, capace di giocare in diverse divisioni con successo. Ha dimostrato di avere una grande abilità nel segnare gol e nel creare occasioni per i suoi compagni di squadra. La sua carriera è ancora in corso, ma ha già dimostrato di avere il potenziale per continuare a crescere e raggiungere grandi traguardi nel mondo del calcio.