Branko Boskovic è un calciatore serbo che ha avuto numerosi successi nel corso della sua carriera. Il suo primo debutto avviene il 12 agosto 1999 con la squadra del Crvena Zvezda nella qualificazione per l'Europa League. Poi, il 14 settembre 1999, fa il suo esordio nella stessa competizione.
Il 3 settembre 2000 segna il suo primo goal internazionale e, contemporaneamente, il suo primo goal con la squadra di Serbia e Montenegro U21 nelle qualificazioni per l'U21 European Championship. In seguito, il 12 luglio 2000, fa il suo debutto nella categoria della UEFA Champions League con la stessa squadra.
Il 12 febbraio 2003 fa il suo esordio con la nazionale di Serbia e Montenegro nelle qualificazioni per il campionato europeo. Poi, l'11 giugno dello stesso anno, segna il suo primo goal con la stessa squadra.
Il 30 agosto 2003 fa il suo debutto nella Ligue 1 Uber Eats con il Paris Saint-Germain. In seguito, il 29 ottobre dello stesso anno fa il suo esordio nella Coupe de la Ligue. Il 3 dicembre 2003 segna il suo primo goal con la squadra.
Il 4 gennaio 2004 fa il suo esordio nella Coupe de Francia. Poi, il 20 ottobre 2004, fa il suo debutto nella UEFA Champions League. Il 10 novembre dello stesso anno realizza la sua prima doppietta con il PSG.
Il 6 agosto 2005 fa il suo debutto con la squadra di Troyes. Il 7 gennaio 2006 segna il suo primo goal con la stessa squadra. Il 15 gennaio dello stesso anno disputa la sua 50ª partita in Ligue 1 Uber Eats.
Il 24 febbraio 2007 fa il suo debutto nella categoria dell'Austrian Bundesliga con la squadra del Rapid Vienna. Il 29 aprile 2007 segna il suo primo goal con la squadra. Il 7 luglio dello stesso anno fa il suo esordio nell'UEFA Intertoto Cup.
Il 15 agosto 2008 realizza la sua prima tripletta con il Rapid Vienna nella Coppa di Austria. Il 6 settembre 2008 fa il suo debutto con la nazionale di Montenegro nelle qualificazioni per la Coppa del Mondo.
Il 23 aprile 2010 disputa la sua 100ª partita nell'Austrian Bundesliga. Il 16 luglio 2010 fa il suo debutto nella Major League Soccer con la squadra del DC United. Il 22 luglio dello stesso anno segna il suo primo goal con la stessa squadra nella US Open Cup. L'8 novembre dello stesso anno disputa la sua 50ª partita con il DC United.
Il 2 novembre 2013 disputa la sua 150ª partita con il Rapid Vienna. Branko Boskovic ha avuto una carriera ricca di successi e ha lasciato un segno indelebile nel mondo del calcio.
